これは知っていないといけない?

2010年の開成の問題です。




となる△と□の組をすべて求めなさい。ただし□は△以上であるとします。また解答欄をすべて用いるとはかぎりません。



A+B=Cという等式があるとしましょう。これをABCの公倍数で割ると条件の式になることがわかります。

例えば2+3=5でこれを60で割ると

2/60+3/60=5/60 ですから、これを約分すると1/30+1/20=1/12 でひとつの例ができあがることがわかるでしょう。




これはその場で思いつくというものではないかと思います。何回か、似たような問題が過去に出たことがありますが、ひとつ知っておくといろいろ応用がきくかもしれません。

で解答は以下のようになります。




できあがる分数の和の分母が12ですから、左式の数は12の約数でなければいけません。

12の約数は1、2、3、4、6、12の6つです。

これを組み合わせていきますが、例えば1+2と2+4は同じになります。

1+2=3 → 1/36+1/18=1/12 (36で割る。)
2+4=6 → 1/36+1/18=1/12 (72で割る。)

したがってその組み合わせは

1+1=2 → 1/24+1/24=1/12
1+2=3 → 1/36+1/18=1/12
1+3=4 → 1/48+1/16=1/12
1+4=5 → 1/60+1/15=1/12
1+6=7 → 1/84+1/14=1/12
1+12=13 → 1/156+1/13=1/12
2+3=5 → 1/30+1/20=1/12
3+4=7 → 1/28+1/21=1/12

したがって
(24、24)(18、36)(16、48)(15、60)(14、84)(13、156)(20、30)(21、28)の8組になります。


「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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